75. 50 Найдите площадь криволинейной трапеции: y = 2x², y = 0;x = -1;x = 1

Решение:

Площадь криволинейной трапеции вычисляется по формуле:

\[ S = \int_{a}^{b} f(x) dx \]

В данном случае \( f(x) = 2x^2 \), \( a = -1 \) и \( b = 1 \).

1. Найдём первообразную для \( f(x) = 2x^2 \):



\[ F(x) = \int 2x^2 dx = 2 \int x^2 dx = 2 \frac{x^3}{3} \]



2. Вычислим определённый интеграл:



\[ S = \left[ \frac{2x^3}{3} \right]_{-1}^{1} = \frac{2(1)^3}{3} - \frac{2(-1)^3}{3} = \frac{2}{3} - \frac{2(-1)}{3} = \frac{2}{3} - \left(-\frac{2}{3}\right) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{4}{3} \]

Ответ: \( \frac{4}{3} \).