75. ABCD — параллелограмм (рис. 68), ∠BAC = ∠DAC = 15°. Расстояние от точки C до прямой AD равно 12 см. Найдите периметр параллелограмма ABCD.

Так как \(\angle BAC=\angle DAC=15^\circ\), то \(\angle BAD=30^\circ\).

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой из точки \(C\) к прямой \(AD\). В нём угол при \(A\) равен \(15^\circ\), а высота равна 12 см:

\(AD=\dfrac{12}{\tan15^\circ}\).

Так как \(\tan15^\circ=2-\sqrt3\), получаем:

\(AD=\dfrac{12}{2-\sqrt3}=12(2+\sqrt3)\) см.

В треугольнике ABC углы при \(A\) и \(C\) равны по \(15^\circ\), поэтому \(AB=BC\). В параллелограмме \(BC=AD\), следовательно, все стороны равны. Тогда:

\(P=4AD=4\cdot12(2+\sqrt3)=48(2+\sqrt3)\) см.

Ответ: \(48(2+\sqrt3)\) см.