75. Докажите, что объём наклонной призмы равен произведению бокового ребра на площадь сечения призмы плоскостью, перпендикулярной к боковым рёбрам и пересекающей их.

Обозначим длину бокового ребра через \(l\), площадь указанного сечения — через \(S\), а площадь основания призмы — через \(S_0\). Пусть \(\alpha\) — угол между плоскостью основания и плоскостью сечения.

1. Объём призмы равен площади основания, умноженной на высоту: \(V=S_0h\).
2. Высота призмы равна перпендикулярной составляющей бокового ребра: \(h=l\sin\alpha\).
3. Поскольку плоскость сечения перпендикулярна боковым рёбрам, площадь косого сечения равна ортогональной проекции основания, делённой на косинус угла между плоскостями: \(S=\dfrac{S_0}{\sin\alpha}\). Следовательно, \(S_0=S\sin\alpha\).
4. Подставим это равенство в формулу объёма: \(V=(S\sin\alpha)(l\sin\alpha)\) — это было бы неверно, поскольку угол между основанием и сечением связан с боковым ребром не указанным образом. Корректно применить теорему о сечении: параллельное основанию сечение имеет площадь \(S_0\), а перпендикулярное боковым рёбрам сечение пересекает боковые рёбра под прямым углом. Его площадь равна \(S_0/\sin\beta\), где \(\beta\) — угол между боковым ребром и основанием, тогда \(h=l\sin\beta\). Поэтому \(V=S_0l\sin\beta=(S\sin\beta)l\sin\beta\) также требует иной проекционной связи.

В формулировке, вероятно, требуется сечение плоскостью, перпендикулярной боковым рёбрам, но утверждение «объём равен боковому ребру, умноженному на площадь такого сечения» в общем случае верно: призма получается сдвигом этого сечения вдоль бокового ребра, и объём равен площадь поперечного сечения, умноженной на длину сдвига.

Итак, по принципу Кавальери для призмы с поперечным сечением, перпендикулярным направлению боковых рёбер, \(V=Sl\).

Ответ: \(V=Sl\).