750. Докажите, что если векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CD}$ равны, то середины отрезков AD и BC совпадают. Докажите обратное утверждение: если середины отрезков AD и BC совпадают, то $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$.

Question

750. Докажите, что если векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CD}$ равны, то середины отрезков AD и BC совпадают. Докажите обратное утверждение: если середины отрезков AD и BC совпадают, то $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$.

$Фото задания: 750. Докажите, что если векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CD}$ равны, то середины отрезков AD и BC…$ Фото задания

Accepted Answer

Пусть $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$. В координатной форме это означает $B-A=D-C$, откуда $A+D=B+C$. Следовательно, $\frac{A+D}{2}=\frac{B+C}{2}$. Левая часть — середина AD, правая — середина BC, поэтому середины совпадают.

Обратно, пусть середины AD и BC совпадают. Тогда $\frac{A+D}{2}=\frac{B+C}{2}$, значит $A+D=B+C$. После преобразования получаем $B-A=D-C$, то есть $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$.

Ответ: утверждения доказаны.