76. Докажите, что для любых целых a: а) если a + 1 делится на 3, то 4 + 7a делится на 3; б) если a + 2 делится на 5, то 1 + 3a делится на 5; в) если 2a + 1 делится на 7, то 12a − 1 делится на 7; г) если 3a + 2 делится на 11, то 21a + 3 делится на 11.

1. а) Если \(a+1\) делится на 3, то \(a\equiv-1\pmod 3\). Тогда \(4+7a\equiv1+1\equiv2\pmod 3\), а не 0. Например, при \(a=2\) условие выполнено, но \(4+7a=18\) делится на 3 — этот пример противоречит вычислению остатка; проверим: \(a\equiv-1\equiv2\), и \(4+7a\equiv1+1\equiv2\). При \(a=2\), значение равно 18, остаток 0. Значит исходное сравнение неверно: \(4\equiv1\), \(7a\equiv a\equiv2\), сумма 0. Итак, \(4+7a\equiv1+a\equiv0\pmod3\). Делимость доказана.

2. б) Из \(a+2\equiv0\pmod5\) следует \(a\equiv-2\pmod5\). Тогда \(1+3a\equiv1-6=-5\equiv0\pmod5\).

3. в) Из \(2a+1\equiv0\pmod7\) следует \(2a\equiv-1\pmod7\). Умножая на 6, обратное к 2 по модулю 7, получаем \(a\equiv3\pmod7\). Тогда \(12a-1\equiv5a-1\equiv15-1=14\equiv0\pmod7\).

4. г) Из \(3a+2\equiv0\pmod{11}\) следует \(3a\equiv-2\pmod{11}\). Умножим на 7, обратное к 3 по модулю 11: \(a\equiv-14\equiv8\pmod{11}\). Тогда \(21a+3\equiv10a+3\equiv80+3=83\equiv6\pmod{11}\), что не равно нулю. Утверждение неверно: при \(a=8\) условие выполнено, но \(21a+3=171\) не делится на 11.

Ответ: а), б), в) верны; г) неверно.