78. Упростите выражение при допустимых значениях переменной: а) 3ab²:(−0,2a³b); б) (5/12)(−x)³yz·6:(−xyz²); в) −0,8m²nk²·12,5:((−m)⁴n²k³); г) (b²·bⁿ·b³)/(bⁿ⁻²·b⁶); д) (36a²c⁵y³)/(18c⁶y²a²); е) (18kd³−6kd³)/(5k²d+7k²d); ж) (2⁷·x³·(−x³)²·x⁴)/(64·(−x²)⁵·x²·x³); з) (4⁹²·(m³)⁵·n⁸·k⁶)/(7⁴·k·k⁵·(n⁴)²·(m²)⁶); и) (aⁿ+aⁿ⁺²)/(aⁿ+aⁿ⁻²).

Сокращаем числовые коэффициенты и применяем правила степеней; знаменатели должны быть ненулевыми.

1. а) \(3ab^2:(-0.2a^3b)=-15a^{1-3}b^{2-1}=-\frac{15b}{a^2}\), где \(a\ne0\), \(b\ne0\).
2. б) \(\frac{5}{12}(-x)^3yz\cdot6:(-xyz^2)=\frac{5}{2}x^2\), где \(x,y,z\ne0\).
3. в) \(-0.8m^2nk^2\cdot12.5:((-m)^4n^2k^3)=-\frac{10}{mnk}\), где \(m,n,k\ne0\).
4. г) \(\frac{b^2b^nb^3}{b^{n-2}b^6}=b^{n+5-(n+4)}=b\), где \(b\ne0\).
5. д) \(\frac{36a^2c^5y^3}{18c^6y^2a^2}=\frac{2y}{c}\), где \(a,c,y\ne0\).
6. е) \(\frac{18kd^3-6kd^3}{5k^2d+7k^2d}=\frac{12kd^3}{12k^2d}=\frac{d^2}{k}\), где \(k,d\ne0\).
7. ж) В числителе степень \(x^{3+6+4}=x^{13}\), в знаменателе \(64(-x^2)^5x^2x^3=-64x^{15}\). Поэтому результат \(-\frac{1}{4x^2}\), где \(x\ne0\).
8. з) Сократим степени буквенных множителей: показатель \(m\) равен \(15-12=3\), показатель \(n\) — \(8-8=0\), показатель \(k\) — \(6-6=0\). Числовой коэффициент остаётся \(\frac{4^{92}}{7^4}\). Итак, \(\frac{4^{92}m^3}{7^4}\), где \(m,n,k\ne0\).
9. и) Вынесем \(a^n\) за скобки: \(\frac{a^n(1+a^2)}{a^{n-2}(a^2+1)}=a^2\), при условии, что исходный знаменатель не равен нулю: \(a\ne0\) и \(a^2+1\ne0\). Для действительных \(a\) достаточно \(a\ne0\).