761. Докажите, что если A, B, C и D — произвольные точки, то \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}=\vec{0}\).

Запишем векторы через радиус-векторы точек:

\[\overrightarrow{AB}=\vec{B}-\vec{A},\quad \overrightarrow{BC}=\vec{C}-\vec{B},\quad \overrightarrow{CD}=\vec{D}-\vec{C},\quad \overrightarrow{DA}=\vec{A}-\vec{D}.\]

Сложим их:

\[\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}\]

\[=(\vec{B}-\vec{A})+(\vec{C}-\vec{B})+(\vec{D}-\vec{C})+(\vec{A}-\vec{D})=\vec{0}.\]

Все радиус-векторы взаимно сократились, поэтому сумма равна нулевому вектору.