763. В треугольнике ABC $AB=6$, $BC=8$, $\angle B=90^\circ$. Найдите: а) $|\overrightarrow{BA}|-|\overrightarrow{BC}|$ и $|\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}|$; б) $|\overrightarrow{AB}|+|\overrightarrow{BC}|$ и $|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}|$; в) $|\overrightarrow{BA}|+|\overrightarrow{BC}|$ и $|\overrightarrow{BA}+\\rightarrow{BC}|$; г) $|\overrightarrow{AB}|-|\overrightarrow{BC}|$ и $|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}|$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 763. В треугольнике ABC $AB=6$, $BC=8$, $\angle B=90^\circ$. Найдите: а)…$ Фото задания

763. В треугольнике ABC $AB=6$, $BC=8$, $\angle B=90^\circ$. Найдите: а) $|\overrightarrow{BA}|-|\overrightarrow{BC}|$ и $|\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}|$; б) $|\overrightarrow{AB}|+|\overrightarrow{BC}|$ и $|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}|$; в) $|\overrightarrow{BA}|+|\overrightarrow{BC}|$ и $|\overrightarrow{BA}+\\rightarrow{BC}|$; г) $|\overrightarrow{AB}|-|\overrightarrow{BC}|$ и $|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}|$.

Accepted Answer

Так как $\angle B=90^\circ$, векторы с началом в точке $B$ взаимно перпендикулярны. Поэтому длина их суммы или разности находится по теореме Пифагора:

\[\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=10.\]

$|\overrightarrow{BA}|-|\overrightarrow{BC}|=6-8=-2$.
$|\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}|=10$.
$|\overrightarrow{AB}|+|\overrightarrow{BC}|=6+8=14$.
$|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}|=10$, поскольку $\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{BC}$.
$|\overrightarrow{BA}|+|\overrightarrow{BC}|=6+8=14$.
$|\overrightarrow{BA}+\\rightarrow{BC}|=10$.
$|\overrightarrow{AB}|-|\overrightarrow{BC}|=6-8=-2$.
$|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}|=10$.

Ответ: а) $-2$ и $10$; б) $14$ и $10$; в) $14$ и $10$; г) $-2$ и $10$.