764. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ сторона основания равна 6 см, а боковое ребро равно 3 см. а) Найдите площадь сечения призмы плоскостью ABC₁. б) Докажите, что прямая A₁B₁ параллельна плоскости AC₁B. в) Найдите угол, который составляет прямая B₁C с плоскостью ABC. г) Найдите угол между плоскостями AB₁C и ABC. д) Найдите длину вектора BB₁ − BC + 2A₁A − C₁C. е) Найдите объём призмы.

а) Сечение — треугольник ABC₁. Его основание AB = 6. Расстояние от C₁ до AB складывается из высоты равностороннего основания и высоты призмы:

\(h_{C_1,AB}=\sqrt{(3\sqrt3)^2+3^2}=6\).

Тогда \(S_{ABC_1}=\frac12\cdot6\cdot6=18\text{ см}^2\).

б) Плоскость AC₁B содержит прямую AB. В призме A₁B₁ ∥ AB, причём A₁B₁ не лежит в плоскости AC₁B. Следовательно, A₁B₁ параллельна плоскости AC₁B.

в) Проекция прямой B₁C на плоскость основания — BC. Поэтому \(\tan\alpha=\frac{BB_1}{BC}=\frac36=\frac12\), откуда \(\alpha=\arctan\frac12\approx26.6^\circ\).

г) Зададим координаты: A(0,0,0), B(6,0,0), C(3,3√3,0), B₁(6,0,3). Нормаль к плоскости AB₁C можно получить векторным произведением \(\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AB_1}=(9\sqrt3,-9,-18\sqrt3)\); её длина равна 36. Нормаль к основанию вертикальна, поэтому косинус острого угла между плоскостями равен \(\frac{18\sqrt3}{36}=\frac{\sqrt3}{2}\). Угол равен 30°.

д) Пусть \(\vec v=\overrightarrow{BB_1}=\overrightarrow{AA_1}=\overrightarrow{CC_1}\). Тогда \(\overrightarrow{A_1A}=-\vec v\), \(\overrightarrow{C_1C}=-\vec v\), а

\(\overrightarrow{BB_1}-\overrightarrow{BC}+2\overrightarrow{A_1A}-\overrightarrow{C_1C}=-\overrightarrow{BC}\).

Следовательно, длина этого вектора равна длине стороны основания: 6 см.

е) Площадь основания равна \(\frac{6^2\sqrt3}{4}=9\sqrt3\text{ см}^2\). Поэтому \(V=9\sqrt3\cdot3=27\sqrt3\text{ см}^3\).

Ответ: а) 18 см²; в) \(\arctan\frac12\); г) 30°; д) 6 см; е) \(27\sqrt3\) см³.