Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Пусть O — центр квадратного основания. Высота пирамиды \(MO=MA\sin60^\circ=4\sqrt3\text{ см}\), а проекция ребра MA на основание \(AO=MA\cos60^\circ=4\text{ см}\). Для стороны квадрата a имеем \(AO=\frac{a\sqrt2}{2}\), поэтому \(a=4\sqrt2\text{ см}\).
а) Расстояние от O до стороны основания равно \(a/2=2\sqrt2\). Высота боковой грани равна \(s=\sqrt{MO^2+(a/2)^2}=\sqrt{48+8}=2\sqrt{14}\). Поэтому \(S_{бок}=4\cdot\frac12as=2\cdot4\sqrt2\cdot2\sqrt{14}=32\sqrt7\text{ см}^2\).
б) Площадь основания равна \(a^2=32\text{ см}^2\). Тогда \(V=\frac13\cdot32\cdot4\sqrt3=\frac{128\sqrt3}{3}\text{ см}^3\).
в) Рассмотрим противоположные грани, стоящие на противоположных сторонах квадрата. Их нормали можно взять пропорциональными векторам \((0,\sqrt6,1)\) и \((0,-\sqrt6,1)\), поскольку \(2MO/a=\sqrt6\). Скалярное произведение нормалей равно −5, а длина каждой равна \(\sqrt7\). Острый угол между плоскостями удовлетворяет \(\cos\theta=\frac5{7}\), следовательно, \(\theta=\arccos\frac57\approx44.4^\circ\).
г) В сечении, перпендикулярном стороне основания, \(\tan\varphi=\frac{MO}{a/2}=\frac{4\sqrt3}{2\sqrt2}=\sqrt6\). Значит, угол между боковой гранью и основанием равен \(\varphi=\arctan\sqrt6\approx67.8^\circ\).
д) Пусть O — середина диагонали BD. Тогда \(\frac12(\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD})=\overrightarrow{MO}\). Вертикальные составляющие векторов MO и MK равны −4√3, поэтому их скалярное произведение равно \((4\sqrt3)^2=48\text{ см}^2\).
е) Центр описанной сферы лежит на высоте MO. Если его расстояние от основания равно x, то из равенства расстояний до вершины основания и до M получаем \(4^2+x^2=(4\sqrt3-x)^2\), откуда \(x=\frac4{\sqrt3}\). Поэтому \(R=\sqrt{4^2+x^2}=\frac8{\sqrt3}=\frac{8\sqrt3}{3}\text{ см}\).
Ответ: а) \(32\sqrt7\) см²; б) \(\frac{128\sqrt3}{3}\) см³; в) \(\arccos\frac57\); г) \(\arctan\sqrt6\); д) 48 см²; е) \(\frac{8\sqrt3}{3}\) см.
