Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Так как пирамида правильная, O — центр равностороннего основания. Из прямоугольного треугольника DOA получаем \(OA=\sqrt{DA^2-DO^2}=\sqrt{25-9}=4\). Радиус описанной окружности основания равен 4, поэтому сторона основания \(a=4\sqrt3\).
а) Площадь основания равна \(S_{осн}=\frac{a^2\sqrt3}{4}=12\sqrt3\text{ см}^2\). Высота боковой грани к стороне основания равна \(\sqrt{5^2-(a/2)^2}=\sqrt{25-12}=\sqrt{13}\). Площадь боковой поверхности равна \(3\cdot\frac12\cdot4\sqrt3\cdot\sqrt{13}=6\sqrt{39}\text{ см}^2\). Итак, \(S_{полн}=12\sqrt3+6\sqrt{39}\text{ см}^2\).
б) \(V=\frac13S_{осн}\cdot DO=\frac13\cdot12\sqrt3\cdot3=12\sqrt3\text{ см}^3\).
в) Проекция ребра DA на основание — AO. Поэтому для угла \(\alpha\) между DA и плоскостью основания \(\sin\alpha=\frac{DO}{DA}=\frac35\). Следовательно, \(\alpha=\arcsin\frac35\approx36.9^\circ\).
г) Пусть N — середина BC. Отрезок ON перпендикулярен BC и равен радиусу вписанной окружности основания, то есть 2. В прямоугольном треугольнике DON \(\tan\varphi=\frac{DO}{ON}=\frac32\). Значит, угол наклона боковой грани равен \(\varphi=\arctan\frac32\approx56.3^\circ\).
д) Поскольку M — середина BC, \(\frac12(\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC})=\overrightarrow{DM}\). В равностороннем треугольнике основания OM=2, AM=6, а направления горизонтальных составляющих \(\overrightarrow{DM}\) и \(\overrightarrow{MA}\) противоположны. Вертикальная составляющая \(\overrightarrow{MA}\) равна нулю, поэтому скалярное произведение равно \(-OM\cdot AM=-2\cdot6=-12\text{ см}^2\).
е) Для пирамиды с вписанным шаром \(V=\frac13rS_{полн}\), поэтому
\(r=\frac{3V}{S_{полн}}=\frac{36\sqrt3}{12\sqrt3+6\sqrt{39}}=\frac{6}{2+\sqrt{13}}=\frac23(\sqrt{13}-2)\text{ см}\).
Ответ: а) \(12\sqrt3+6\sqrt{39}\) см²; б) \(12\sqrt3\) см³; в) \(\arcsin\frac35\); г) \(\arctan\frac32\); д) −12 см²; е) \(\frac23(\sqrt{13}-2)\) см.
