765. В правильной четырёхугольной пирамиде MABCD сторона AB основания равна 6√2 см, а боковое ребро MA равно 12 см. Найдите: а) площадь боковой поверхности пирамиды; б) объём пирамиды; в) угол наклона боковой грани к плоскости основания; г) угол между боковым ребром и плоскостью основания; д) скалярное произведение векторов (AB + AD) и AM; е) площадь сферы, описанной около пирамиды.

Обозначим сторону основания через \(a=6\sqrt2\). Пусть O — центр квадрата. Тогда \(AO=\frac{a\sqrt2}{2}=6\), а высота пирамиды \(MO=\sqrt{MA^2-AO^2}=\sqrt{144-36}=6\sqrt3\).

а) Высота боковой грани к стороне основания равна \(s=\sqrt{12^2-(a/2)^2}=\sqrt{144-18}=3\sqrt{14}\). Поэтому площадь боковой поверхности:

\(S_{бок}=4\cdot\frac12as=2\cdot6\sqrt2\cdot3\sqrt{14}=72\sqrt7\text{ см}^2\).

б) Площадь основания \(a^2=72\text{ см}^2\). Тогда \(V=\frac13\cdot72\cdot6\sqrt3=144\sqrt3\text{ см}^3\).

в) В сечении через вершину M, центр O и середину стороны основания тангенс угла наклона грани равен отношению высоты пирамиды к половине стороны основания:

\(\tan\alpha=\frac{6\sqrt3}{3\sqrt2}=\sqrt6\), значит, \(\alpha=\arctan\sqrt6\approx67.8^\circ\).

г) Проекция ребра MA на основание — AO. Поэтому угол между MA и плоскостью основания удовлетворяет равенству \(\sin\beta=\frac{MO}{MA}=\frac{6\sqrt3}{12}=\frac{\sqrt3}{2}\). Значит, \(\beta=60^\circ\).

д) В квадрате \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}\). Проекция \(\overrightarrow{AM}\) на плоскость основания направлена вдоль AO, поэтому

\((\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})\cdot\overrightarrow{AM}=AC\cdot AO=12\cdot6=72\text{ см}^2\).

е) Центр описанной сферы лежит на высоте MO. Если его расстояние от основания равно x, то равенство расстояний до вершины основания и до M даёт \(6^2+x^2=(6\sqrt3-x)^2\), откуда \(x=2\sqrt3\). Радиус сферы: \(R=\sqrt{6^2+x^2}=4\sqrt3\). Следовательно, площадь сферы равна \(4\pi R^2=192\pi\text{ см}^2\).

Ответ: а) \(72\sqrt7\) см²; б) \(144\sqrt3\) см³; в) \(\arctan\sqrt6\); г) 60°; д) 72 см²; е) \(192\pi\) см².