77. На рисунке 42 изображён параллелепипед ABCD A₁B₁C₁D₁, на рёбрах которого отмечены точки M, N, M₁ и N₁ так, что AM = CN = A₁M₁ = C₁N₁. Докажите, что MBN D₁M₁B₁N₁ — параллелепипед.

Пусть общий вектор рёбер параллелепипеда из A равен AB = u, AD = v, AA₁ = w. Обозначим t = AM = CN = A₁M₁ = C₁N₁. Тогда M = A + tu, N = C − tv, M₁ = A₁ + tu, N₁ = C₁ − tv.

Перенос на вектор w переводит M в M₁, B в B₁, N в N₁ и D в D₁. Поэтому четырёхугольники MBN D и M₁B₁N₁D₁ соответствуют друг другу при переносе, а соответствующие боковые рёбра параллельны и равны.

Кроме того, в основании MBN D противоположные стороны параллельны: MB = (1 − t)u, а DN = −(1 − t)u; BN = (1 − t)v, а DM = −(1 − t)v. Следовательно, MBN D — параллелограмм. Его параллельный перенос M₁B₁N₁D₁ вместе с параллельными боковыми рёбрами образует параллелепипед.

Ответ: MBN D₁M₁B₁N₁ — параллелепипед.