77. В параллелограмме MNPQ проведён перпендикуляр NH к прямой MQ, причём точка H лежит на прямой MQ. Найдите стороны и углы параллелограмма, если MH = 3 см, HQ = 5 см, ∠MNH = 30°.

Так как точка H лежит на отрезке MQ,

\(MQ=MH+HQ=3+5=8\) см.

В треугольнике MNH угол H прямой, а \(\angle MNH=30^\circ\). Сторона MH лежит напротив угла \(30^\circ\), поэтому гипотенуза MN вдвое больше MH:

\(MN=2\cdot MH=2\cdot3=6\) см.

В параллелограмме противоположные стороны равны:

\(NP=MQ=8\) см, \(PQ=MN=6\) см.

Так как \(NH\perp MQ\), угол между MN и MQ равен \(90^\circ-30^\circ=60^\circ\). Это угол M параллелограмма. Противоположные углы равны, а соседние в сумме дают \(180^\circ\):

\(\angle M=\angle P=60^\circ\), \(\angle N=\angle Q=120^\circ\).

Ответ: \(MN=PQ=6\) см, \(MQ=NP=8\) см; \(\angle M=\angle P=60^\circ\), \(\angle N=\angle Q=120^\circ\).