78. Исследовать систему в зависимости от параметров a и b: (a − 2)x − (b − 1)y + 2 = 0; ax + (b − 2)y + 3 = 0.

Перепишем систему:

\[(a-2)x-(b-1)y=-2,\qquad ax+(b-2)y=-3.\]

Определитель:

\[\Delta=(a-2)(b-2)+a(b-1)=2ab-4a-3b+4.\]

При \(\Delta\ne0\) система имеет единственное решение:

\[x=\frac{-2(b-2)-3(b-1)}{\Delta}=\frac{7-5b}{\Delta},\qquad y=\frac{-3(a-2)+2a}{\Delta}=\frac{6-a}{\Delta}.\]

При \(\Delta=0\) система могла бы иметь бесконечно много решений только при пропорциональности всех коэффициентов вместе со свободными членами. Из условий пропорциональности свободных членов и коэффициентов получается система \(a=\frac{10}{3}\), \(b=\frac{19}{6}\), но для этих значений \(\Delta\ne0\). Поэтому при \(\Delta=0\) система несовместна.

Ответ: при \(2ab-4a-3b+4\ne0\) — единственное решение \(x=\frac{7-5b}{2ab-4a-3b+4}\), \(y=\frac{6-a}{2ab-4a-3b+4}\); при \(2ab-4a-3b+4=0\) решений нет.