80. Исследовать систему в зависимости от параметров a и b: (a + 3)x + (b − 1)y + 4 = 0; (2a − 1)x + (b − 4)y + 1 = 0.

Перепишем систему:

\[(a+3)x+(b-1)y=-4,\qquad (2a-1)x+(b-4)y=-1.\]

Определитель:

\[\Delta=(a+3)(b-4)-(2a-1)(b-1)=-ab-5a+4b-13.\]

При \(\Delta\ne0\) система имеет единственное решение:

\[x=\frac{-4(b-4)+(b-1)}{\Delta}=\frac{15-3b}{\Delta},\qquad y=\frac{-(a+3)+4(2a-1)}{\Delta}=\frac{7a-7}{\Delta}.\]

При \(\Delta=0\) бесконечно много решений возможно только при пропорциональности коэффициентов и свободных членов. Из равенства отношений свободных членов следует коэффициент пропорциональности \(4\), поэтому должны выполняться \(2a-1=4(a+3)\) и \(b-4=4(b-1)\). Отсюда \(a=-\frac{13}{2}\), \(b=0\). Эти значения удовлетворяют \(\Delta=0\). Следовательно, в этом случае уравнения совпадают.

Ответ: при \(-ab-5a+4b-13\ne0\) — единственное решение \(x=\frac{15-3b}{-ab-5a+4b-13}\), \(y=\frac{7a-7}{-ab-5a+4b-13}\); при \(a=-\frac{13}{2}\), \(b=0\) — бесконечно много решений; при остальных значениях, для которых \(-ab-5a+4b-13=0\), решений нет.