8.1. При каких натуральных значениях a дробь (a + 540) / a является целым числом?

Преобразуем дробь: \(\frac{a+540}{a}=1+\frac{540}{a}\). Она будет целой тогда и только тогда, когда \(540\) делится на \(a\) без остатка.

Разложение на простые множители: \(540=2^2\cdot3^3\cdot5\). Следовательно, подходят все натуральные делители числа 540:

\(a\in\{1,2,3,4,5,6,9,10,12,15,18,20,27,30,36,45,54,60,90,108,135,180,270,540\}\).

Ответ: все натуральные делители числа 540.