8.5. Имеется линейка без делений длиной 9 см. Какое наименьшее количество делений нужно нанести на эту линейку, чтобы ею можно было измерить любое расстояние от 1 до 9 см (с точностью до 1 см)?

Считаем, что нужно измерять расстояния, выраженные целым числом сантиметров, откладывая их между отметками линейки. Отметки на концах линейки соответствуют 0 и 9 см; их наносить как внутренние деления не требуется.

Можно сделать внутренние отметки на 1, 2, 4 и 7 см. Разности между отметками дают все расстояния от 1 до 9 см: 1 (0–1), 2 (0–2), 3 (1–4), 4 (0–4), 5 (4–9), 6 (1–7), 7 (0–7), 8 (1–9), 9 (0–9).

Меньше четырёх внутренних отметок недостаточно: вместе с двумя концами это дало бы не более пяти отметок, а между пятью отметками существует всего 10 пар. Одна пара уже нужна для расстояния 9 см, а чтобы получить расстояния 1–8 см, необходимо покрыть восемь разных значений среди оставшихся пар. При пяти отметках это потребовало бы, чтобы все 10 попарных расстояний были различными, включая 9. Такой набор на отрезке длиной 9 невозможен: после отметок 0 и 9 остальные три отметки должны дать расстояния 1–8 без повторов, но расстояния от крайних отметок до каждой внутренней пары неизбежно повторяют одно из значений либо пропускают нужное значение.

Ответ: 4 внутренних деления.