8.10. При каких значениях переменной имеет смысл выражение: 1) \(\sqrt[8]{x+6}\); 2) \(\sqrt[9]{a-10}\); 3) \(\sqrt[4]{y(y-1)}\); 4) \(\sqrt[6]{-x}\); 5) \(\sqrt[6]{-x^2}\); 6) \(\sqrt[10]{x^2+2x-8}\)?

Для корня чётной степени подкоренное выражение должно быть неотрицательным; корень нечётной степени определён при любом действительном подкоренном выражении.

1. \(x+6\geq0\), значит \(x\geq-6\).
2. Корень девятой степени определён при любом действительном \(a\).
3. Нужно \(y(y-1)\geq0\). Произведение неотрицательно при \(y\leq0\) или \(y\geq1\).
4. \(-x\geq0\), значит \(x\leq0\).
5. \(-x^2\geq0\). Это возможно только при \(x=0\).
6. \(x^2+2x-8=(x+4)(x-2)\geq0\), откуда \(x\leq-4\) или \(x\geq2\).

Ответ: 1) \(x\geq-6\); 2) любое действительное \(a\); 3) \(y\in(-\infty;0]\cup[1;+\infty)\); 4) \(x\leq0\); 5) \(x=0\); 6) \(x\in(-\infty;-4]\cup[2;+\infty)\).