8. (2 балла) Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = x² - 2х + 2, прямыми а=1, в=2 и осью Оx.

Площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = f(x), осью Ox и прямыми x = a и x = b, вычисляется как определенный интеграл:

S = ∫ᵇₐ f(x) dx

В данном случае f(x) = x² - 2x + 2, a = 1, b = 2.

Проверим, находится ли график функции выше оси Ox на заданном интервале. Для этого найдем вершину параболы y = x² - 2x + 2. Координата x вершины: x = -b / (2a) = -(-2) / (2 * 1) = 2 / 2 = 1. Ветви параболы направлены вверх. При x=1, y = 1² - 2*1 + 2 = 1 - 2 + 2 = 1. При x=2, y = 2² - 2*2 + 2 = 4 - 4 + 2 = 2. Значения функции положительны на интервале [1, 2].

Теперь вычислим определенный интеграл:

S = ∫²₁ (x² - 2x + 2) dx

Найдем первообразную для f(x) = x² - 2x + 2:

F(x) = ∫ (x² - 2x + 2) dx = x³/3 - 2*(x²/2) + 2x = x³/3 - x² + 2x.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

S = F(2) - F(1)

F(2) = 2³/3 - 2² + 2*2 = 8/3 - 4 + 4 = 8/3.

F(1) = 1³/3 - 1² + 2*1 = 1/3 - 1 + 2 = 1/3 + 1 = 4/3.

S = 8/3 - 4/3 = 4/3.

Ответ: 4/3