Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:
\[6 \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^2 - 17 \frac{1}{3} = 6 \cdot \frac{1}{9} - \frac{17 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{6}{9} - \frac{52}{3} = \frac{2}{3} - \frac{52}{3} = -\frac{50}{3} = -16 \frac{2}{3}\]
Ответ: \(-16 \frac{2}{3}\)