8.93 Один из углов прямоугольной трапеции равен 120°, большее основание равно 12. Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, если известно, что меньшая диагональ трапеции равна ее большему основанию.

Обозначим большее основание через \(B=12\), меньшее — через \(b\), а высоту — через \(h\). В прямоугольной трапеции одна диагональ имеет горизонтальную проекцию 12, поэтому она длиннее 12. Значит, меньшая диагональ имеет горизонтальную проекцию \(b\), и по условию \(b^2+h^2=12^2\).

Угол 120° образован наклонной боковой стороной и большим основанием. Горизонтальный сдвиг между основаниями равен \(12-b\), а острый угол при наклонной стороне равен 60°. Поэтому \(h=\sqrt{3}(12-b)\).

Подставим во второе соотношение: \(b^2+3(12-b)^2=144\). После упрощения получаем \(b^2-18b+72=0\), откуда \(b=6\) или \(b=12\). Значение \(b=12\) не подходит, так как основания тогда равны; следовательно, \(b=6\).

Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен половине разности оснований: \(\frac{12-6}{2}=3\).

Ответ: 3.