8) ABCDA₁B₁C₁D₁ — куб, S△A₁C₁D = √3. Найдите объём куба.

Каждая сторона треугольника \(A_1C_1D\) — диагональ грани куба, поэтому её длина равна \(a\sqrt{2}\). Треугольник равносторонний, и его площадь:

\(S_{\triangle A_1C_1D} = \frac{(a\sqrt{2})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{a^2\sqrt{3}}{2}\).

По условию \(\frac{a^2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}\), следовательно, \(a^2 = 2\) и \(a = \sqrt{2}\).

Тогда \(V = a^3 = (\sqrt{2})^3 = 2\sqrt{2}\).

Ответ: \(2\sqrt{2}\).