8. $BD$ — биссектриса в треугольнике $ABC$. На прямую $BD$ из точки $C$ опущен перпендикуляр, основанием которого является точка $H$ такая, что $\angle DHC=90^\circ$. Докажите, что площадь треугольника $ABH$ равна половине площади треугольника $ABC$.

Question

8. $BD$ — биссектриса в треугольнике $ABC$. На прямую $BD$ из точки $C$ опущен перпендикуляр, основанием которого является точка $H$ такая, что $\angle DHC=90^\circ$. Докажите, что площадь треугольника $ABH$ равна половине площади треугольника $ABC$.

$Фото задания: 8. $BD$ — биссектриса в треугольнике $ABC$. На прямую $BD$ из точки $C$ опущен перпендикуляр, основанием которого…$ Фото задания

Accepted Answer

Поскольку $B,D,H$ лежат на одной прямой, а $CH\perp BD$, имеем $CH\perp BH$. Так как $BD$ — биссектриса угла $ABC$, то расстояния от точек $A$ и $C$ до прямой $BD$ связаны с площадями треугольников.

Треугольники $ABH$ и $ABC$ имеют общую высоту из точки $A$ к прямой $BD\text{?}$ Уточним через основания на прямой биссектрисы: из равенства углов $\angle ABD=\angle DBC$ и перпендикулярности $AH$ не следует требуемое без дополнительной привязки точки $H$ к стороне $AC$. В условии, вероятно, имеется в виду, что $H$ — основание перпендикуляра из точки $C$ на прямую $AB$ либо что $H\in AC$. При приведённой формулировке утверждение в общем случае недоказуемо: точка $H$ определяется как проекция $C$ на $BD$, а площадь $ABH$ не обязана равняться половине площади $ABC$.

Ответ: