8. Дано: AD = 30, ∠ABC = 135°. На рисунке AD ∥ BC, ∠BCD = 90°, ∠BDC = 45°. Найти BC.

В треугольнике BCD: ∠CBD = 180° − 90° − 45° = 45°. Тогда ∠ABD = ∠ABC − ∠CBD = 135° − 45° = 90°.

Так как AD ∥ BC и CD ⟂ BC, то CD ⟂ AD. Из ∠BDC = 45° следует, что ∠ADB = 45°. Значит, треугольник ABD — прямоугольный равнобедренный, а AD = 30 — его гипотенуза. Поэтому BD = 30 / √2 = 15√2.

Треугольник BCD также прямоугольный равнобедренный, поэтому BC = BD / √2 = 15.

Ответ: BC = 15.