8. Дано: прямые a, b и c пересекаются в точке M; точки A, B, C лежат в плоскости α, а точки A₁, B₁, C₁ — в плоскости β, причём α ∥ β. Доказать: △ABC ∼ △A₁B₁C₁.

Так как α ∥ β, проекция из точки M переводит плоскость α в плоскость β. При этом точки соответствуют на одних прямых: A и A₁ лежат на прямой a, B и B₁ — на прямой b, C и C₁ — на прямой c.

Центральная проекция между двумя параллельными плоскостями является гомотетией с центром M: существует одно и то же отношение направленных расстояний от M до соответствующих плоскостей. Поэтому соответствующие стороны треугольников пропорциональны: AB/A₁B₁ = BC/B₁C₁ = CA/C₁A₁. Следовательно, по трём пропорциональным сторонам треугольники подобны.

Ответ: △ABC ∼ △A₁B₁C₁.