8. Деревянный куб N × N × N составили из кубиков 1 × 1 × 1. Затем его снаружи покрасили белой краской. Оказалось, что кубиков, у которых окрашена ровно одна грань, столько же, сколько кубиков, у которых не окрашена ни одна из граней. Найдите N.

Общее количество маленьких кубиков в кубе \( N \times N \times N \) равно \( N^3 \).

Кубиков, у которых окрашена ровно одна грань, находятся на гранях куба, но не на рёбрах и не на вершинах. Таких кубиков на каждой грани \( (N-2) \times (N-2) \). Так как у куба 6 граней, общее количество таких кубиков равно \( 6(N-2)^2 \).

Кубиков, у которых не окрашена ни одна грань, находятся внутри куба. Это куб размером \( (N-2) \times (N-2) \times (N-2) \). Их количество равно \( (N-2)^3 \).

По условию задачи, количество кубиков с одной окрашенной гранью равно количеству неокрашенных кубиков:

\( 6(N-2)^2 = (N-2)^3 \).

Если \( N=2 \), то \( (N-2)=0 \). В этом случае \( 6(0)^2 = 0^3 \), то есть \( 0=0 \). Куб \( 2 \times 2 \times 2 \) состоит из 8 кубиков, все они угловые, у них по 3 окрашенные грани. Окрашенных ровно одной гранью нет, неокрашенных нет. Это не подходит.

Если \( N > 2 \), то \( N-2 \neq 0 \), и мы можем разделить обе части уравнения на \( (N-2)^2 \):

\( 6 = N-2 \)

\( N = 6 + 2 \)

\( N = 8 \).

Проверим: Если \( N=8 \), то кубиков с одной окрашенной гранью \( 6(8-2)^2 = 6 \times 6^2 = 6 \times 36 = 216 \). Кубиков без окрашенных граней \( (8-2)^3 = 6^3 = 216 \). Условие выполняется.

Ответ: 8.