9. И куба 4 × 4 × 4, составленного из кубиков 1 × 1 × 1, убрали несколько кубиков. Осталась одна фигура из 22 кубиков. Из какого наибольшего числа квадратиков может состоять поверхность такой фигуры?

Исходный куб \( 4 \times 4 \times 4 \) состоит из \( 4^3 = 64 \) кубиков.

Убрали \( 64 - 22 = 42 \) кубика.

Чтобы поверхность получившейся фигуры была наибольшей, нужно убирать кубики так, чтобы максимально обнажать внутренние грани.

Наибольшая площадь поверхности будет, когда мы убираем кубики из центра, оставляя внешние слои.

Рассмотрим куб \( 4 \times 4 \times 4 \). Он состоит из:

• 8 угловых кубиков (3 грани видны).
• \( 12 \times (4-2) = 12 \times 2 = 24 \) реберных кубиков (2 грани видны).
• \( 6 \times (4-2)^2 = 6 \times 2^2 = 6 \times 4 = 24 \) центральных кубиков на гранях (1 грань видна).
• \( (4-2)^3 = 2^3 = 8 \) внутренних кубиков (0 граней видны).

Всего \( 8 + 24 + 24 + 8 = 64 \) кубика.

У нас осталось 22 кубика. Максимальная поверхность будет, если мы оставим кубики, имеющие максимально возможное количество видимых граней.

Если мы оставим 8 угловых кубиков, это 22 кубика. Угловые кубики имеют 3 грани. \( 8 \times 3 = 24 \). Нам нужно еще 14 кубиков.

Если мы оставим 8 угловых кубиков и 14 реберных кубиков. Реберные кубики имеют по 2 грани. \( 8 \times 3 + 14 \times 2 = 24 + 28 = 52 \). Это больше 22.

Чтобы максимизировать поверхность, мы должны стремиться сохранить кубики с наибольшим числом видимых граней.

Рассмотрим случай, когда мы оставим 8 угловых кубиков. Это 8 кубиков. Остается \( 22 - 8 = 14 \) кубиков. Если эти 14 кубиков будут реберными, то общая площадь будет \( 8 \times 3 + 14 \times 2 = 24 + 28 = 52 \) квадратика.

Если мы убираем внутренние кубики, то поверхность увеличивается.

Наибольшая площадь поверхности будет, когда мы оставляем кубики, которые были на поверхности исходного куба.

Поверхность исходного куба \( 6 \times 4^2 = 6 \times 16 = 96 \) квадратиков.

Если мы убираем внутренние кубики, то каждая убранная грань внутреннего кубика открывает новую грань внешнего кубика.

Если мы оставляем 22 кубика, то 42 кубика убрано. Каждый убранный кубик, если он был внутренним, открывает 6 граней. Если он был на грани, открывает 5 граней, если на ребре - 4, если угловой - 3.

Чтобы получить наибольшую площадь, убираем кубики так, чтобы максимально