№8. Докажите, если k и c — целые числа, e = 2kc и p = k² − c², то в уравнении x² = e² + p² корни тоже будут целыми числами.

Подставим выражения \(e=2kc\) и \(p=k^2-c^2\) в правую часть уравнения:

\(e^2+p^2=(2kc)^2+(k^2-c^2)^2\).

Раскроем скобки:

\(e^2+p^2=4k^2c^2+k^4-2k^2c^2+c^4\).

Приведём подобные слагаемые:

\(e^2+p^2=k^4+2k^2c^2+c^4\).

Это полный квадрат:

\(e^2+p^2=(k^2+c^2)^2\).

Тогда уравнение принимает вид:

\(x^2=(k^2+c^2)^2\).

Следовательно, \(x=\pm(k^2+c^2)\). Так как \(k\) и \(c\) — целые числа, число \(k^2+c^2\) также является целым.

Ответ: корни уравнения \(x_1=k^2+c^2\) и \(x_2=-(k^2+c^2)\) являются целыми числами.