8. Докажите неравенство \( 26a^2 + 10ab + b^2 + 2a + 4 > 0 \).

Решение:

Перегруппируем члены, чтобы попытаться выделить полные квадраты:

\( 26a^2 + 10ab + b^2 + 2a + 4 \)

Попробуем выделить полный квадрат относительно \( b \):

\( b^2 + 10ab \) - это часть квадрата \( (b + 5a)^2 = b^2 + 10ab + 25a^2 \).

Перепишем исходное выражение, используя это:

\( (b^2 + 10ab + 25a^2) + 26a^2 - 25a^2 + 2a + 4 \)

\( (b + 5a)^2 + a^2 + 2a + 4 \)

Теперь рассмотрим оставшуюся часть: \( a^2 + 2a + 4 \). Попробуем выделить полный квадрат относительно \( a \):

\( a^2 + 2a \) - это часть квадрата \( (a+1)^2 = a^2 + 2a + 1 \).

Перепишем выражение:

\( (b + 5a)^2 + (a^2 + 2a + 1) + 4 - 1 \)

\( (b + 5a)^2 + (a+1)^2 + 3 \)

Теперь у нас есть сумма квадратов и положительное число:

\( (b + 5a)^2 \ge 0 \) для любых действительных \( a \) и \( b \).

\( (a+1)^2 \ge 0 \) для любого действительного \( a \).

Следовательно, \( (b + 5a)^2 + (a+1)^2 \ge 0 \).

Добавив 3, получаем:

\( (b + 5a)^2 + (a+1)^2 + 3 \ge 0 + 3 \)

\( (b + 5a)^2 + (a+1)^2 + 3 \ge 3 \)

Так как \( 3 > 0 \), то исходное выражение \( 26a^2 + 10ab + b^2 + 2a + 4 \) всегда больше 0.

Ответ: Неравенство доказано.