8. Докажите неравенство \(m^2 + 37n^2 + 12mn - 8n + 20 > 0\).

Решение:

Попробуем сгруппировать слагаемые так, чтобы выделить полные квадраты.

Сначала выделим полный квадрат относительно \(m\), используя слагаемые \(m^2\) и \(12mn\):

\(m^2 + 12mn\)

Чтобы получить полный квадрат \((m+k)^2 = m^2 + 2mk + k^2\), нам нужно \(2mk = 12mn\), следовательно \(k = 6n\).

Тогда \((m+6n)^2 = m^2 + 12mn + 36n^2\).

Теперь перепишем исходное неравенство:

\((m^2 + 12mn + 36n^2) - 36n^2 + 37n^2 - 8n + 20 > 0\)

\((m+6n)^2 + (37n^2 - 36n^2) - 8n + 20 > 0\)

\((m+6n)^2 + n^2 - 8n + 20 > 0\)

Теперь выделим полный квадрат относительно \(n\) из оставшихся членов: \(n^2 - 8n + 20\).

\(n^2 - 8n + 16 + 4 > 0\)

\((n-4)^2 + 4 > 0\)

Подставим это обратно в неравенство:

\((m+6n)^2 + (n-4)^2 + 4 > 0\)

Сумма квадратов \((m+6n)^2\) и \((n-4)^2\) всегда неотрицательна (больше или равна нулю). Добавление положительного числа 4 делает всю сумму строго положительной.

\((m+6n)^2 \ge 0\)

\((n-4)^2 \ge 0\)

\((m+6n)^2 + (n-4)^2 + 4 \ge 0 + 0 + 4 = 4\)

Поскольку \(4 > 0\), то \((m+6n)^2 + (n-4)^2 + 4 > 0\) для любых действительных \(m\) и \(n\).

Ответ: Неравенство доказано.