7. При каких значениях переменной имеет смысл выражение ? \(\sqrt{5x+3}+\frac{1}{\sqrt{6-x}}\)

Решение:

Выражение имеет смысл, если выполняются два условия:

1. Подкоренное выражение квадратного корня должно быть неотрицательным:

   \[ 5x + 3 \ge 0 \]

   Решим это неравенство:

   \[ 5x \ge -3 \]

   \[ x \ge -\frac{3}{5} \]

2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю, и подкоренное выражение также должно быть неотрицательным. Поскольку знаменатель уже содержит корень, само подкоренное выражение должно быть строго положительным, чтобы дробь была определена и корень был действительным:

   \[ 6 - x > 0 \]

   Решим это неравенство:

   \[ 6 > x \]

   или

   \[ x < 6 \]

Теперь нам нужно найти значения 'x', которые удовлетворяют обоим условиям одновременно: $$x \ge -\frac{3}{5}$$ и $$x < 6$$.

Объединяя эти два условия, получаем интервал:

\[ -\frac{3}{5} \le x < 6 \]

Ответ: Выражение имеет смысл при $$x \in [-\frac{3}{5}; 6)$$.