8. Докажите тождество: cos² α (1 + tg² α) − sin² α = cos² α.

Тангенс определён при \(\cos\alpha\ne0\). Используем тождество \(1+ g^2\alpha=\frac{1}{\cos^2\alpha}\):

\(\cos^2\alpha(1+ g^2\alpha)-\sin^2\alpha=\cos^2\alpha\cdot\frac{1}{\cos^2\alpha}-\sin^2\alpha=1-\sin^2\alpha=\cos^2\alpha\).

Левая часть равна правой, следовательно, тождество доказано.