8. Из пункта А вниз по реке отправился плот. Через 1 час навстречу ему из пункта В, находящегося на расстоянии 30 км от А, вышла моторная лодка, которая встретилась с плотом через 2 ч после своего выхода. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки 2 км/ч.

Решение:

Пусть \( v_л \) — собственная скорость лодки, а \( v_т \) — скорость течения реки. Известно, что \( v_т = 2 \) км/ч.

Скорость плота равна скорости течения реки, то есть \( v_п = v_т = 2 \) км/ч.

Скорость лодки по течению (если бы она шла вниз) была бы \( v_л + v_т \). Скорость лодки против течения (если бы она шла вверх) была бы \( v_л - v_т \).

Плот плыл 1 час + 2 часа = 3 часа. Расстояние, пройденное плотом: \( S_п = v_п \times 3 = 2 \times 3 = 6 \) км.

Лодка вышла навстречу плоту. Значит, лодка плыла вверх по течению, а плот плыл вниз по течению.

Скорость лодки относительно берега, когда она движется навстречу плоту (т.е. вверх по течению): \( v_{л.навстречу} = v_л - v_т = v_л - 2 \).

Расстояние, пройденное лодкой: \( S_л = (v_л - 2) \times 2 \).

Общее расстояние между пунктами А и В равно 30 км. Плот начал движение из А, лодка вышла из В навстречу ему.

Расстояние от А до места встречи = \( S_п = 6 \) км.

Расстояние от В до места встречи = \( S_л = (v_л - 2) \times 2 \).

Сумма расстояний от А до места встречи и от В до места встречи равна расстоянию между А и В:

\( S_п + S_л = 30 \)

\( 6 + (v_л - 2) \times 2 = 30 \)

\( 6 + 2v_л - 4 = 30 \)

\( 2 + 2v_л = 30 \)

\( 2v_л = 30 - 2 \)

\( 2v_л = 28 \)

\( v_л = \frac{28}{2} = 14 \) км/ч.

Проверка: Скорость лодки против течения = \( 14 - 2 = 12 \) км/ч. Расстояние, пройденное лодкой за 2 часа = \( 12 \times 2 = 24 \) км. Плот проплыл \( 2 \times 3 = 6 \) км. Общее расстояние \( 24 + 6 = 30 \) км. Верно.

Ответ: Собственная скорость лодки — 14 км/ч.