8 класс. 2. В параллелограмме ABCD точка M — середина стороны CD, N — точка на стороне AD такая, что AN : ND = 1 : 2. Выразите \(\overrightarrow{CN}\) и \(\overrightarrow{MN}\) через векторы \(\vec b=\overrightarrow{BC}\) и \(\vec a=\overrightarrow{BA}\).

Возьмём точку B за начало отсчёта. Тогда \(\overrightarrow{BC}=\vec b\), \(\overrightarrow{BA}=\vec a\), а \(\overrightarrow{BD}=\vec a+\vec b\).

1. Так как \(AN:ND=1:2\), точка N расположена на одной трети пути от A к D:
   \(\overrightarrow{BN}=\vec a+\frac13\vec b\).
2. Поэтому \(\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{BN}-\overrightarrow{BC}=\vec a+\frac13\vec b-\vec b=\vec a-\frac23\vec b\).
3. M — середина CD. Следовательно,
   \(\overrightarrow{BM}=\frac12(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BD})=\frac12(\vec b+\vec a+\vec b)=\frac12\vec a+\vec b\).
4. Тогда \(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{BN}-\overrightarrow{BM}=\vec a+\frac13\vec b-\left(\frac12\vec a+\vec b\right)=\frac12\vec a-\frac23\vec b\).

Ответ: \(\overrightarrow{CN}=\vec a-\frac23\vec b\); \(\overrightarrow{MN}=\frac12\vec a-\frac23\vec b\).