8 класс 2. Около равнобедренного треугольника АВС с основанием АС = 12 см описана окружность, радиус которой 10 см. Найдите площадь треугольника АВС.

Решение:

Дано: \( \triangle ABC \) — равнобедренный, \( AC = 12 \) см. Описанная окружность, \( R = 10 \) см.

Найти: Площадь \( \triangle ABC \).

1. Пусть \( O \) — центр описанной окружности. Проведем высоту \( BO \) к основанию \( AC \). Так как \( \triangle ABC \) равнобедренный, \( BO \) является и медианой, и высотой. \( AO = OC = \frac{AC}{2} = \frac{12}{2} = 6 \) см.
2. В прямоугольном \( \triangle BOC \): \( BC^2 = BO^2 + OC^2 \).
3. Рассмотрим \( \triangle AOC \). \( OA = OC = 6 \) см. \( AC = 12 \) см.
4. В \( \triangle BOC \) есть сторона \( OC = 6 \) см и радиус \( R = 10 \) см.
5. Рассмотрим \( \triangle BOC \). \( OC = 6 \) см, \( OB \) — часть радиуса.
6. Если \( O \) лежит внутри \( \triangle ABC \), то \( BO = R - OM \), где \( M \) — середина \( AC \).
7. Если \( O \) лежит вне \( \triangle ABC \), то \( BO = R + OM \).
8. Пусть \( BO = h \). Тогда \( BC = \sqrt{h^2 + 6^2} \).
9. В \( \triangle ABC \) высота \( h = BO \).
10. Воспользуемся формулой радиуса описанной окружности: \( R = \frac{abc}{4S} \). \( 10 = \frac{BC \cdot BC \cdot 12}{4 \cdot S} \). \( 40S = 12 \cdot BC^2 \).
11. Площадь \( S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BO = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot h = 6h \).
12. Подставим \( S \) в предыдущее уравнение: \( 40 \cdot 6h = 12 \cdot BC^2 \). \( 240h = 12 \cdot BC^2 \). \( 20h = BC^2 \).
13. Из \( \triangle BOC \): \( BC^2 = h^2 + 6^2 = h^2 + 36 \).
14. Приравниваем: \( 20h = h^2 + 36 \). \( h^2 - 20h + 36 = 0 \).
15. Решаем квадратное уравнение для \( h \): \( h = \frac{20 \cdot \sqrt{400 - 4 \cdot 36}}{2} = \frac{20 \cdot \sqrt{400 - 144}}{2} = \frac{20 \cdot \sqrt{256}}{2} = \frac{20 \cdot 16}{2} = 10 \cdot 16 = 160 \). Это слишком большая высота.
16. Переосмыслим положение центра O. Пусть \( M \) — середина \( AC \). \( OM \) перпендикулярен \( AC \). \( O \) лежит на прямой \( BM \).
17. В \( \triangle OMC \): \( OC^2 = OM^2 + MC^2 \). \( 10^2 = OM^2 + 6^2 \). \( 100 = OM^2 + 36 \). \( OM^2 = 64 \). \( OM = 8 \) см.
18. Высота \( BM = BO \cdot MC \).
19. Высота \( BM = OB + OM \) или \( BM = OB - OM \).
20. Рассмотрим \( \triangle BMC \). \( BC^2 = BM^2 + MC^2 \).
21. Пусть высота \( BM = h \). \( BC^2 = h^2 + 6^2 = h^2 + 36 \).
22. Радиус описанной окружности \( R = \frac{a \cdot b \cdot c}{4S} \). \( 10 = \frac{BC \cdot BC \cdot 12}{4 \cdot \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot h} \). \( 10 = \frac{12 \cdot BC^2}{24h} \). \( 10 = \frac{BC^2}{2h} \). \( 20h = BC^2 \).
23. Подставляем \( BC^2 = h^2 + 36 \): \( 20h = h^2 + 36 \). \( h^2 - 20h + 36 = 0 \).
24. \( h = \frac{20 \cdot \sqrt{400 - 4 \cdot 36}}{2} = \frac{20 \cdot \sqrt{400 - 144}}{2} = \frac{20 \cdot \sqrt{256}}{2} = \frac{20 \cdot 16}{2} = 160 \). Здесь ошибка.
25. Положение центра O. \( M \) — середина \( AC \). \( OM \cdot MC = R \cdot OC \) (неверно).
26. В \( \triangle OMC \): \( OC = 10 \) (радиус), \( MC = 6 \). \( OM = \sqrt{OC^2 - MC^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 \) см.
27. Высота \( BM = BO + OM = 10 + 8 = 18 \) см. (Если O между B и M).
28. Или \( BM = OB - OM = 10 - 8 = 2 \) см. (Если M между B и O).
29. Если \( BM = 18 \) см: \( BC = \sqrt{BM^2 + MC^2} = \sqrt{18^2 + 6^2} = \sqrt{324 + 36} = \sqrt{360} \). \( S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 18 = 6 \cdot 18 = 108 \) см².
30. Если \( BM = 2 \) см: \( BC = \sqrt{2^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40} \). \( S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 2 = 6 \cdot 2 = 12 \) см².
31. Проверим формулу \( R = \frac{abc}{4S} \).
32. Случай 1: \( S = 108 \). \( R = \frac{\sqrt{360} \cdot \sqrt{360} \cdot 12}{4 \cdot 108} = \frac{360 \cdot 12}{432} = \frac{4320}{432} = 10 \). Верно.
33. Случай 2: \( S = 12 \). \( R = \frac{\sqrt{40} \cdot \sqrt{40} \cdot 12}{4 \cdot 12} = \frac{40 \cdot 12}{48} = \frac{480}{48} = 10 \). Верно.
34. В данном случае, основание AC = 12, радиус R = 10. Так как \( R > AC/2 \), то центр описанной окружности лежит внутри треугольника. Высота \( BM = OB + OM = R + OM \).
35. \( OM = 8 \) см. \( BM = 10 + 8 = 18 \) см.
36. Площадь \( S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BM = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 18 = 6 \cdot 18 = 108 \) см².

Ответ: Площадь треугольника АВС равна 108 см².