8 класс 2. Высота CD, проведённая к основанию AB равнобедренного треугольника ABC, равна 3 см, AB = 8 см. Найдите радиусы вписанной в треугольник и описанной около треугольника окружностей.

Решение:

Дано: \( \triangle ABC \) — равнобедренный, \( CD \) — высота, \( CD = 3 \) см, \( AB = 8 \) см.

Найти: \( r \) (радиус вписанной окружности), \( R \) (радиус описанной окружности).

1. Так как \( \triangle ABC \) равнобедренный и \( CD \) — высота, то \( D \) — середина \( AB \). Следовательно, \( AD = DB = \frac{AB}{2} = \frac{8}{2} = 4 \) см.
2. Найдем боковую сторону \( AC \) по теореме Пифагора из \( \triangle ADC \): \[ AC = \sqrt{AD^2 + CD^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \text{ см}. \]
3. Площадь \( \triangle ABC \): \[ S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CD = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 3 = 12 \text{ см}^2. \]
4. Радиус вписанной окружности \( r \) находится по формуле: \[ r = \frac{S}{p} \], где \( p \) — полупериметр. \( p = \frac{AB + AC + BC}{2} = \frac{8 + 5 + 5}{2} = \frac{18}{2} = 9 \) см.
5. \( r = \frac{12}{9} = \frac{4}{3} \) см.
6. Радиус описанной окружности \( R \) находится по формуле: \[ R = \frac{abc}{4S} \], где \( a, b, c \) — стороны треугольника.
7. \( R = \frac{8 \cdot 5 \cdot 5}{4 \cdot 12} = \frac{200}{48} = \frac{25}{6} \) см.

Ответ: радиус вписанной окружности \( r = \frac{4}{3} \) см, радиус описанной окружности \( R = \frac{25}{6} \) см.