8. На плоскости даны четыре прямые. Известно, что ∠1 = 120°, ∠2 = 60°, ∠3 = 55°. Найдите ∠4. Ответ дайте в градусах.

Решение:

1. Рассмотрим прямые \( m \) и \( n \), пересекаемые секущей \( k \).
2. Угол \( Χ1 = 120^\circ \). Угол, смежный с \( Χ1 \), равен \( 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \).
3. Угол \( Χ2 = 60^\circ \).
4. Угол \( Χ1 \) и \( Χ2 \) не являются ни соответственными, ни накрест лежащими, ни односторонними.
5. Рассмотрим треугольник, образованный прямыми \( m \), \( l \) и секущей \( k \).
6. Угол \( Χ1 = 120^\circ \) (внешний угол треугольника).
7. Угол \( Χ3 = 55^\circ \) (один из внутренних углов треугольника).
8. Угол, вертикальный к \( Χ2 \), равен \( 60^\circ \). Этот угол является вторым внутренним углом треугольника.
9. Сумма углов треугольника равна \( 180^\circ \).
10. Найдем третий угол треугольника (смежный с \( Χ4 \)): \( 180^\circ - 120^\circ - 60^\circ = 0^\circ \) - это невозможно.
11. Рассмотрим углы, образованные пересечением трех прямых \( m \), \( n \), \( l \) и секущей \( k \).
12. Угол \( Χ1 = 120^\circ \). Угол, смежный с \( Χ1 \), равен \( 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \).
13. Угол \( Χ2 = 60^\circ \).
14. Угол \( Χ3 = 55^\circ \).
15. Рассмотрим треугольник, образованный прямыми \( m \), \( l \) и секущей \( k \).
16. Угол \( Χ1 \) является внешним углом для этого треугольника.
17. Угол, вертикальный к \( Χ2 \), равен \( 60^\circ \) и является одним из внутренних углов треугольника.
18. Угол \( Χ3 = 55^\circ \) является вторым внутренним углом треугольника.
19. Сумма двух внутренних углов треугольника равна внешнему углу: \( 60^\circ + 55^\circ = 115^\circ \).
20. Но внешний угол \( Χ1 = 120^\circ \). Следовательно, \( 115^\circ \neq 120^\circ \), что указывает на некорректность исходных данных или расположения углов.
21. Предположим, что \( Χ1 \) и \( Χ2 \) — это углы, образованные при пересечении прямых \( m \) и \( k \).
22. \( Χ1 = 120^\circ \). Смежный с ним угол равен \( 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \).
23. \( Χ2 = 60^\circ \).
24. Угол \( Χ4 \) и смежный с \( Χ1 \) угол являются накрест лежащими при параллельных прямых \( m \) и \( n \) и секущей \( k \).
25. Следовательно, \( Χ4 = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \).
26. Угол \( Χ3 = 55^\circ \) не используется в данном расчете, если \( m
    parallel n \) и \( k \) - секущая.
27. Если \( m
    parallel n \), то \( Χ1 \) и \( Χ4 \) являются односторонними углами, и их сумма должна быть \( 180^\circ \). \( 120^\circ + 60^\circ = 180^\circ \).
28. Следовательно, \( m
    parallel n \).
29. Тогда \( Χ4 \) и \( Χ2 \) являются вертикальными углами.
30. \( Χ4 = Χ2 = 60^\circ \).
31. \( Χ3 \) не имеет отношения к \( Χ4 \) в данном контексте.

Ответ: 60