8. На рёбрах куба расставили все числа от 1 до 12, а затем для каждой вершины посчитали сумму чисел на трёх рёбрах, выходящих из этой вершины. Могут ли восемь полученных чисел оказаться равными?

Сложим суммы, полученные во всех восьми вершинах. Каждое число на ребре войдёт в сумму двух вершин — концов этого ребра.

Поэтому сумма восьми результатов равна 2 · (1 + 2 + … + 12) = 2 · 78 = 156. Если бы все восемь результатов были равны, каждый составлял бы 156 / 8 = 19,5. Но суммы целых чисел должны быть целыми.

Ответ: нет, не могут.