8. Найдите наибольшее значение функции y= x³ + 2x² - 4x + 4 на отрезке [-2; 0].

Решение:

1. Найдем производную функции: \( y' = 3x² + 4x - 4 \).
2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: \( 3x² + 4x - 4 = 0 \).
3. Решим квадратное уравнение: \( x = \frac{-4 \pm \sqrt{4² - 4 \cdot 3 \cdot (-4)}}{2 \cdot 3} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 48}}{6} = \frac{-4 \pm \sqrt{64}}{6} = \frac{-4 \pm 8}{6} \).
4. Получим две критические точки: \( x₁ = \frac{-4 + 8}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \) и \( x₂ = \frac{-4 - 8}{6} = \frac{-12}{6} = -2 \).
5. Проверим, какие из критических точек принадлежат отрезку \( [-2; 0] \). Точка \( x = -2 \) принадлежит отрезку. Точка \( x = \frac{2}{3} \) не принадлежит отрезку.
6. Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке, принадлежащей отрезку:
• При \( x = -2 \): \( y(-2) = (-2)³ + 2(-2)² - 4(-2) + 4 = -8 + 2(4) + 8 + 4 = -8 + 8 + 8 + 4 = 12 \).
• При \( x = 0 \): \( y(0) = 0³ + 2(0)² - 4(0) + 4 = 4 \).
7. Сравним полученные значения: 12 и 4. Наибольшее значение — 12.

Ответ: 12.