8. Найдите площадь криволинейной фигуры, ограниченной графиками функций: y = x² + 3x, и осью Ох. Выполните чертеж.

Решение:

1. Найдем точки пересечения параболы \( y = x^2 + 3x \) с осью Ох (где \( y=0 \)): \( x^2 + 3x = 0 \) \( x(x+3) = 0 \). Корни: \( x_1 = -3 \) и \( x_2 = 0 \).
2. Парабола \( y = x^2 + 3x \) имеет ветви вверх. Вершина параболы находится в точке \( x = -\frac{b}{2a} = -\frac{3}{2} = -1.5 \). Значение функции в вершине: \( y = (-1.5)^2 + 3(-1.5) = 2.25 - 4.5 = -2.25 \).
3. Криволинейная фигура ограничена параболой и осью Ох на отрезке \( [-3; 0] \). Так как на этом отрезке значения функции отрицательны, площадь нужно вычислять как интеграл от \( 0 \) до \( -3 \) взятый со знаком минус, или как интеграл от \( -3 \) до \( 0 \) от \( |f(x)| \).
4. Вычислим площадь \( S \) с помощью определенного интеграла: \( S = \int_{-3}^{0} |x^2 + 3x| dx \). На отрезке \( [-3; 0] \), \( x^2 + 3x \le 0 \), поэтому \( |x^2 + 3x| = -(x^2 + 3x) \).
5. \( S = \int_{-3}^{0} -(x^2 + 3x) dx = - \int_{-3}^{0} (x^2 + 3x) dx \)
6. \( S = - \left[ \frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} \right]_{-3}^{0} \)
7. \( S = - \left( (\frac{0^3}{3} + \frac{3 \cdot 0^2}{2}) - (\frac{(-3)^3}{3} + \frac{3 \cdot (-3)^2}{2}) \right) \)
8. \( S = - \left( 0 - (\frac{-27}{3} + \frac{3 \cdot 9}{2}) \right) \)
9. \( S = - \left( -9 + \frac{27}{2} \right) \)
10. \( S = - \left( -\frac{18}{2} + \frac{27}{2} \right) \)
11. \( S = - \frac{9}{2} = -4.5 \)
12. Так как площадь не может быть отрицательной, берём модуль: \( S = 4.5 \).
13. Чертеж: Парабола \( y = x^2 + 3x \) пересекает ось Ох в точках \( x = -3 \) и \( x = 0 \). Вершина параболы находится в \( x = -1.5 \), \( y = -2.25 \). Криволинейная фигура расположена ниже оси Ох.

Ответ: Площадь фигуры равна 4,5.