9. Решите уравнение. Запишите длину отрезка [x₁; x₂], где x₁; x₂ корни уравнения. 3^{2x+1} - 10 · 3^x = -3

Решение:

1. Перепишем уравнение: \( 3^{2x} \cdot 3^1 - 10 \cdot 3^x + 3 = 0 \).
2. \( 3 \cdot (3^x)^2 - 10 \cdot 3^x + 3 = 0 \).
3. Сделаем замену переменной: пусть \( t = 3^x \). Так как \( 3^x > 0 \) для любого \( x \), то \( t > 0 \).
4. Уравнение примет вид: \( 3t^2 - 10t + 3 = 0 \).
5. Решим квадратное уравнение относительно \( t \). Найдем дискриминант: \( D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 \).
6. Найдем корни \( t \): \( t_1 = \frac{10 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3 \). \( t_2 = \frac{10 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \).
7. Оба корня \( t_1 = 3 \) и \( t_2 = \frac{1}{3} \) положительны, поэтому подходят.
8. Вернемся к замене \( t = 3^x \):
   • \( 3^x = 3 \) \( \Rightarrow x_1 = 1 \).
   • \( 3^x = \frac{1}{3} \) \( \Rightarrow 3^x = 3^{-1} \) \( \Rightarrow x_2 = -1 \).
9. Корни уравнения: \( x_1 = 1 \) и \( x_2 = -1 \).
10. Найдем длину отрезка \( [x_1; x_2] \) (или \( [x_2; x_1] \), если \( x_2 < x_1 \)). Длина отрезка равна модулю разности корней: \( |x_1 - x_2| = |1 - (-1)| = |1 + 1| = 2 \).

Ответ: Длина отрезка равна 2.