8. Найдите стороны параллелограмма QTRM, если P = 36 и RM = 1,5 RN. На рисунке N лежит на QR, а TN делит угол QTM пополам.

Так как TN — биссектриса угла QTM, то \(\angle QTN=\angle NTM\). Поскольку \(QT\parallel RM\), угол QTN равен углу TNM. Значит, \(\angle NTM=\angle TNM\), поэтому в треугольнике TNM равны противоположные стороны: \(MN=MT\). Параллелограмм имеет равные противоположные стороны, следовательно, \(MN=QT=RM\).

Тогда \(RN=QR-QN=MT-MN\) — из одного лишь равенства сторон такой вывод не следует; используем расположение и параллельность: из подобия треугольников QTN и MNT следует \(QN=MT\). А так как \(MT=QR\), получается \(QN=QR\), что невозможно при внутренней точке N. Поэтому применим стандартное свойство биссектрисы угла параллелограмма: отрезок от вершины R до точки пересечения биссектрисы с QR равен разности соседних сторон, то есть \(RN=RM-QT\), если \(RM>QT\). Однако на рисунке N находится на QR, а биссектриса проведена из T; при данном условии данных недостаточно, чтобы определить обе стороны без однозначной дополнительной отметки либо уточнения расположения N.

Из периметра можно установить только сумму соседних сторон: \(RM+RN=18\). Вместе с \(RM=1.5RN\) это даёт \(RN=7.2\), \(RM=10.8\). Но для сторон параллелограмма нужна длина QR, а условие не задаёт её однозначно.

Ответ: RM = QT = 10,8; RN = 7,2. Длину QR = TM по данным изображения определить нельзя.