8. Найдите значение выражения \( 4\sqrt{5} \cdot 3\sqrt{27} \cdot \sqrt{15} \).

Решение:

Сгруппируем множители и упростим корни:

\( 4\sqrt{5} \cdot 3\sqrt{27} \cdot \sqrt{15} = (4 \cdot 3) \cdot (\sqrt{5} \cdot \sqrt{27} \cdot \sqrt{15}) \)

\( = 12 \cdot \sqrt{5 \cdot 27 \cdot 15} \)

Разложим числа под корнем на простые множители:

\( 5 = 5 \)

\( 27 = 3^3 \)

\( 15 = 3 \cdot 5 \)

\( 5 \cdot 27 \cdot 15 = 5 \cdot (3^3) \cdot (3 \cdot 5) = 3^4 \cdot 5^2 \)

Теперь извлечём корень:

\( \sqrt{3^4 \cdot 5^2} = \sqrt{3^4} \cdot \sqrt{5^2} = 3^{\frac{4}{2}} \cdot 5^{\frac{2}{2}} = 3^2 \cdot 5^1 = 9 \cdot 5 = 45 \)

Умножим на коэффициент:

\( 12 \cdot 45 = 540 \)

Ответ: 540.