8. Найдите значение выражения (4b)^2 : b^6 * b^4 при b = 64.

Задание 8. Вычисление значения выражения с переменной

Нужно найти значение выражения \( (4b)^2 : b^6 \cdot b^4 \) при \( b = 64 \).

1. Сначала упростим выражение, используя свойства степеней:
• \( (4b)^2 = 4^2 \cdot b^2 = 16b^2 \)
• \( b^6 \cdot b^4 = b^{6+4} = b^{10} \)
2. Теперь подставим это обратно в выражение: \( 16b^2 : b^{10} \).
3. Разделим степени с одинаковым основанием: \( \frac{16b^2}{b^{10}} = 16 b^{2-10} = 16 b^{-8} \).
4. Отрицательный показатель степени означает, что это дробь: \( 16 b^{-8} = \frac{16}{b^8} \).
5. Теперь подставим значение \( b = 64 \): \( \frac{16}{64^8} \).
6. Заметим, что \( 64 = 4^3 = (2^2)^3 = 2^6 \).
7. \( 64^8 = (2^6)^8 = 2^{48} \).
8. \( 16 = 2^4 \).
9. Тогда выражение становится: \( \frac{2^4}{2^{48}} = 2^{4-48} = 2^{-44} \).
10. Также можно заметить, что \( 64 = 4^3 \), тогда \( 64^8 = (4^3)^8 = 4^{24} \).
11. Тогда выражение \( \frac{16}{64^8} = \frac{4^2}{4^{24}} = 4^{2-24} = 4^{-22} \).
12. Или \( \frac{16}{64^8} = \frac{16}{(64^2)^4} \).
13. \( 64^2 = 4096 \).
14. \( 16 / (4096)^4 \).
15. Заметим, что \( 64 = 2^6 \).
16. \( 64^8 = (2^6)^8 = 2^{48} \).
17. \( 16 = 2^4 \).
18. \( \frac{16}{64^8} = \frac{2^4}{2^{48}} = 2^{-44} \).
19. Так как \( b = 64 \), можно заметить, что \( b = 4^3 \).
20. Тогда \( b^8 = (4^3)^8 = 4^{24} \).
21. Выражение: \( \frac{16}{4^{24}} = \frac{4^2}{4^{24}} = 4^{2-24} = 4^{-22} \).
22. Или \( 4^{-22} = (2^2)^{-22} = 2^{-44} \).
23. Это очень маленькое число.
24. Возможно, в задании имелось в виду \( (4b)^2 : (b^6 b^4) \) или \( (4b)^2 b^4 : b^6 \).
25. Если исходное выражение \( (4b)^2 : b^6 b^4 \), то:
• \( (4b)^2 = 16b^2 \)
• \( 16b^2 : b^6 b^4 = \frac{16b^2}{b^6} b^4 = 16b^{2-6} b^4 = 16b^{-4} b^4 = 16b^{-4+4} = 16b^0 = 16 1 = 16 \)
26. Если такое упрощение верно, то значение выражения равно 16, независимо от значения b (кроме b=0).
27. Проверим упрощение:
• \( (4b)^2 = 16b^2 \)
• \( b^6 b^4 = b^{10} \)
• \( (4b)^2 : b^6 b^4 = 16b^2 : b^{10} = \frac{16b^2}{b^{10}} = 16b^{2-10} = 16b^{-8} \)
• Подставляем \( b = 64 \): \( 16 64^{-8} = 16 (4^3)^{-8} = 4^2 4^{-24} = 4^{2-24} = 4^{-22} \).
28. Исходя из стандартной записи математических выражений, \( (4b)^2:b^6 b^4 \) означает \( \frac{(4b)^2}{b^6} b^4 \) или \( \frac{(4b)^2 b^4}{b^6} \).
29. Рассмотрим вариант \( \frac{(4b)^2 b^4}{b^6} \):
• \( (4b)^2 = 16b^2 \)
• \( 16b^2 b^4 = 16b^{2+4} = 16b^6 \)
• \( \frac{16b^6}{b^6} = 16 \)
30. Этот вариант выглядит наиболее вероятным, так как результат не зависит от \( b \).

Ответ: 16