8. Найдите значение выражения \(\sqrt{88 \cdot 110 \cdot 20}\)

Решение:

Разложим числа под корнем на простые множители:

\( 88 = 8 \cdot 11 = 2^3 \cdot 11 \)

\( 110 = 10 \cdot 11 = 2 \cdot 5 \cdot 11 \)

\( 20 = 4 \cdot 5 = 2^2 \cdot 5 \)

Теперь подставим разложения под корень:

\(\sqrt{88 \cdot 110 \cdot 20} = \sqrt{(2^3 \cdot 11) \cdot (2 \cdot 5 \cdot 11) \cdot (2^2 \cdot 5)}\)

Сгруппируем одинаковые множители:

\(= \sqrt{2^{3+1+2} \cdot 5^{1+1} \cdot 11^{1+1}} = \sqrt{2^6 \cdot 5^2 \cdot 11^2}\)

Извлечем корень:

\(= 2^{6/2} \cdot 5^{2/2} \cdot 11^{2/2} = 2^3 \cdot 5^1 \cdot 11^1 = 8 \cdot 5 \cdot 11 = 40 \cdot 11 = 440\)

Ответ: 440