8. Найдите значение выражения $ x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2 $, где $ (x_1; y_1) $, $ (x_2; y_2) $ — решения системы уравнений $ \begin{cases} x^2 - y = 21, \\ x + y = 9. \end{cases} $

Question

Вопрос: $Фото задания: 8. Найдите значение выражения $ x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2 $, где $ (x_1; y_1) $, $ (x_2; y_2) $ — решения системы…$ Фото задания

8. Найдите значение выражения $ x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2 $, где $ (x_1; y_1) $, $ (x_2; y_2) $ — решения системы уравнений $ \begin{cases} x^2 - y = 21, \\ x + y = 9. \end{cases} $

Accepted Answer

Решение:

Сначала решим систему уравнений:

$ \begin{cases} x^2 - y = 21 \\ x + y = 9 \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $ y $:

$ y = 9 - x $

Подставим это выражение в первое уравнение:

$ x^2 - (9 - x) = 21 $

$ x^2 - 9 + x = 21 $

$ x^2 + x - 9 - 21 = 0 $

$ x^2 + x - 30 = 0 $

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 1 + 120 = 121 $. $ \sqrt{D} = 11 $.

Найдем корни $ x $:

$ x_1 = \frac{-1 + 11}{2} = \frac{10}{2} = 5 $

$ x_2 = \frac{-1 - 11}{2} = \frac{-12}{2} = -6 $

Теперь найдем соответствующие значения $ y $:

Для $ x_1 = 5 $: $ y_1 = 9 - x_1 = 9 - 5 = 4 $. Значит, первое решение $ (5; 4) $.

Для $ x_2 = -6 $: $ y_2 = 9 - x_2 = 9 - (-6) = 9 + 6 = 15 $. Значит, второе решение $ (-6; 15) $.

Теперь найдем значение выражения $ x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2 $:

$ 5 \cdot (-6) + 4 \cdot 15 = -30 + 60 = 30 $

Ответ: 30.

8. Найдите значение выражения \( x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2 \), где \( (x_1; y_1) \), \( (x_2; y_2) \) — решения системы уравнений \( \begin{cases} x^2 - y = 21, \\ x + y = 9. \end{cases} \)

Ответ:

Решение: