8. Найдите значение выражения x₁x₂ + y₁y₂ где (x₁; y₁) и (x₂; y₂) — решения системы уравнений: x² - y = 21, x + y = 9.

Решение:

Из второго уравнения системы выразим \( y \): \( y = 9 - x \).

Подставим это выражение в первое уравнение:

\( x^2 - (9 - x) = 21 \)

\( x^2 - 9 + x = 21 \)

\( x^2 + x - 30 = 0 \)

Найдем корни этого квадратного уравнения. Дискриминант \( D = 1^2 - 4 1 (-30) = 1 + 120 = 121 \).

Корни \( x_1 = \frac{-1 + √121}{2} = \frac{-1 + 11}{2} = 5 \) и \( x_2 = \frac{-1 - √121}{2} = \frac{-1 - 11}{2} = -6 \).

Теперь найдем соответствующие значения \( y \):

Если \( x_1 = 5 \), то \( y_1 = 9 - 5 = 4 \). Первое решение: \( (5; 4) \).

Если \( x_2 = -6 \), то \( y_2 = 9 - (-6) = 9 + 6 = 15 \). Второе решение: \( (-6; 15) \).

Теперь вычислим значение выражения \( x_1x_2 + y_1y_2 \):

\( x_1x_2 + y_1y_2 = (5 (-6)) + (4 15) = -30 + 60 = 30 \)

Ответ: 30