8. Найдите значение выражения x₁ · x₂ + y₁ · y₂, где (x₁; y₁), (x₂; y₂) - решения системы уравнений { x² - y = 21, x + y = 9.

Решение:

1. Из второго уравнения выразим \( y \): \( y = 9 - x \).
2. Подставим это выражение в первое уравнение: \( x^2 - (9 - x) = 21 \).
3. Решим полученное квадратное уравнение: \( x^2 - 9 + x = 21 \) \( \Rightarrow \) \( x^2 + x - 30 = 0 \).
4. Найдем корни уравнения (решения для \( x \)) с помощью дискриминанта: \( D = 1^2 - 4 · 1 · (-30) = 1 + 120 = 121 \). \( \sqrt{D} = 11 \).
5. \( x_1 = \frac{-1 + 11}{2} = 5 \) и \( x_2 = \frac{-1 - 11}{2} = -6 \).
6. Найдем соответствующие значения \( y \) для каждого \( x \):
• Если \( x_1 = 5 \), то \( y_1 = 9 - 5 = 4 \).
• Если \( x_2 = -6 \), то \( y_2 = 9 - (-6) = 9 + 6 = 15 \).
7. Таким образом, решения системы: \( (5; 4) \) и \( (-6; 15) \).
8. Найдем значение выражения \( x_1 · x_2 + y_1 · y_2 \):
9. \( 5 · (-6) + 4 · 15 = -30 + 60 = 30 \).

Ответ: 30.