8 Найдите значение выражения (x² + y²) : (x⁴ - y⁴) / (xy) : (x + y) при x = √3 + 2, y = √3 - 2.

Решение:

Сначала упростим выражение:

\[ \frac{x^2 + y^2}{xy} : \frac{x^4 - y^4}{x + y} = \frac{x^2 + y^2}{xy} \times \frac{x + y}{x^4 - y^4} \]

Разложим знаменатель первой дроби:

\[ x^4 - y^4 = (x^2 - y^2)(x^2 + y^2) = (x - y)(x + y)(x^2 + y^2) \]

Теперь подставим это обратно в выражение:

\[ \frac{x^2 + y^2}{xy} \times \frac{x + y}{(x - y)(x + y)(x^2 + y^2)} \]

Сократим общие множители (x² + y²) и (x + y):

\[ \frac{1}{xy(x - y)} \]

Теперь найдем значения x - y и xy:

\[ x = \sqrt{3} + 2 \]

\[ y = \sqrt{3} - 2 \]

\[ x - y = (\sqrt{3} + 2) - (\sqrt{3} - 2) = \sqrt{3} + 2 - \sqrt{3} + 2 = 4 \]

\[ xy = (\sqrt{3} + 2)(\sqrt{3} - 2) = (\sqrt{3})^2 - 2^2 = 3 - 4 = -1 \]

Подставим найденные значения в упрощенное выражение:

\[ \frac{1}{(-1)(4)} = \frac{1}{-4} = -0.25 \]

Ответ: -0.25